Question

如圖所示，在傾角為37°的斜面上，一勁度系數為k=100N/m的輕彈簧一端固定在A點，自然狀態時另一端位于B點．斜面上方有一半徑R=0.2m、圓心角等于143°的豎直圓弧形光滑軌道與斜面相切于C處，圓弧軌道的最高點為D．斜面AB段光滑，BC段粗糙且長度為0.4m．現將一質量為1kg的小物塊從C點由靜止釋放，小物塊將彈簧壓縮了0.2m后速度減為零（不計小物塊到達B處與彈簧碰撞時的能量損失）．已知彈簧彈性勢能表達式E_k=

1

2

kx²，其中k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（計算結果可保留根號）求：
（1）小物塊與斜面BC段間的動摩擦因數μ；
（2）小物塊第一次返回BC面上時，沖到最遠點E，求BE長；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運動且不脫離圓弧軌道，則壓縮時壓縮量應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）對物體從B到C的過程分析，由動能定理列式可求得物體與斜面間的動摩擦因數；
（2）設小物塊最遠將沖到E點，則由動能定理得BE長度；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運動且不脫離圓弧軌道，分兩類情況，一種是不超過與O水平的點F點，一種為能到達最高點D，然后根據動能定理和牛頓運動定律解答．

解答：解：（1）由動能定理得：
mg（BC+x）sin37°-μmgcos37°BC-

1

2

kx2=0
代入數值解得：μ=0.5；
（2）設小物塊最遠將沖到E點，則由動能定理得：

1

2

kx2-mg(x+BE)sin37°-μmgcos37°BE=0
解得：BE=0.08m，即最遠沖到距B點為0.08m的E位置．
（3）要使小物塊不脫離圓弧軌道，則小物塊應到達圖中與o水平的F點時速度減為零則有：

1

2

kx2-mg(x+BC)sin37°-μmg37°BC＞0

1

2

kx2-mg(x+BC)sin37°-μmg37°BC-mgRcos37°≤0
解得：

6+ 836

100

＜x≤

6+ 1156

100

即：0.349m＜x≤0.4m
若恰過最高點D，則有：

1

2

kx2-mg(x+BC)sin37°-μmg37°BC-mg（R+Rcos37°）≥

1

2

mv²
又mg=m

v2

R

解得：x≥

6+ 1756

100

即：x≥0.479m；
答：（1）小物塊與斜面BC段間的動摩擦因數μ=0.5；
（2）小物塊第一次返回BC面上時，沖到最遠點E，求BE長為0.08m；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運動且不脫離圓弧軌道，則壓縮時壓縮量應滿足的條件0.349m＜x≤0.4m
或x≥0.479m．

點評：本題考查動能定理、牛頓第二定律及豎直面內的圓周運動，解題的關鍵在于明確能達到E點的含義及小物塊在CD段圓弧軌道上運動且不脫離圓弧軌道的含義，并能正確列出動能定理及理解題目中公式的含義．