Question

【題目】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)。若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，求：

(1)A星體所受合力大小FA；

(2)B星體所受合力大小FB；

(3)C星體的軌道半徑RC；

(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T。

Answer 1

【答案】(1) 2G (2) G (3) a (4) π

【解析】(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝＝＝FCA，方向如圖所示，則合力大小為FA＝2G

(2)同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為

FAB＝＝G，

FCB＝G＝G，方向如圖所示

由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2G，F(xiàn)By＝FABsin60°＝G，可得FB＝＝G

(3)通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點(diǎn)，則

RC＝，可得RC＝a

或由對稱性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝==

解得RC＝a

(4)三星體運(yùn)動(dòng)周期相同，對C星體，由FC＝FB＝G＝mRC，可得T＝π