Question

在水平面上有一沿y軸放置的長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的細(xì)玻璃管，在管底有光滑絕緣的帶正電的小球．在第一象限中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖所示．已知管沿x軸以v=1m/s的速度平動(dòng)，帶電小球的荷質(zhì)比為

q

m

=

1

2

．求：
（1）帶電小球從管底到飛出管口時(shí)所用的時(shí)間是多少？
（2）帶電小球離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是多少？
（3）帶電小球從剛離開(kāi)管口后到離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)所用的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析：（1）帶電小球在洛倫茲力作用下沿管方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算小球離開(kāi)管口所用時(shí)間；
（2）小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑再根據(jù)幾何關(guān)系求解小球離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出小球在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，再根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期求解小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：小球在離開(kāi)管之前隨管向右以v平動(dòng)，同時(shí)沿管壁做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)小球的質(zhì)量為m，加速度為a，受到的洛倫茲力為f=qvB
由牛頓第二定律有   a=

f

m

=

qvB

m

①
而

q

m

=

1

2

②
小球飛出管口所有時(shí)間為t，則L=

1

2

at2③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)據(jù)解得：t=2s     ④
（2）小球飛出管口時(shí)沿管壁方向的速度為v_y=at⑤
飛出時(shí)的合速度為v合=

v 2 y +v2

   ⑥
又設(shè)小球以v_合在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由牛頓第二定律有
qv合B=m

v 2 合

r

       ⑦
聯(lián)立①②④⑤⑥⑦式并代入數(shù)據(jù)解得：r=2

2

m⑧
又小球飛出管口時(shí)，在x方向上移動(dòng)的距離為x=vt=1m/s×2s=2m
如圖所示，由幾何知識(shí)可知，小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為135°．
所以，帶電小球離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為s=r+rcos450+L=(2

2

+3)m
（3）小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=

2πr

v

=

2πm

qB

代入數(shù)據(jù)解得：T=4πS
所以，帶電小球從離開(kāi)管口到離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間是：t=

135°

360°

T=

3π

2

s

點(diǎn)評(píng)：小球的合運(yùn)動(dòng)是沿管子方向的勻加速運(yùn)動(dòng)和垂直于管子方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，從兩個(gè)方向分別分析即可，小球離開(kāi)玻璃管后做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期求解