Question

如圖所示，半徑R=0.8m的光滑絕緣導(dǎo)軌固定于豎直平面內(nèi)，加上某一方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，帶正電的小球沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)．圓心O與A點(diǎn)的連線與豎直成一角度θ，在A點(diǎn)時(shí)小球?qū)�軌道的壓力N=120N，此時(shí)小球的動(dòng)能最大．若小球的最大動(dòng)能比最小動(dòng)能多32J，且小球能夠到達(dá)軌道上的任意一點(diǎn)（不計(jì)空氣阻力）．則：
（1）小球的最小動(dòng)能是多少？
（2）小球受到重力和電場(chǎng)力的合力是多少？
（3）現(xiàn)小球在動(dòng)能最小的位置突然撤去軌道，并保持其他量都不變，若小球在0.04s后的動(dòng)能與它在A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能相等，求小球的質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）（2）帶電小球沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，受到重力和電場(chǎng)力作用，其合力是恒力，當(dāng)合力沿OA連線向下時(shí)，小球通過(guò)A點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大，通過(guò)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的B點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小．根據(jù)動(dòng)能定理研究小球從B運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程，求出重力與電場(chǎng)力的合力大小．根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能的計(jì)算式求出A點(diǎn)的動(dòng)能，再求出小球的最小動(dòng)能；
（3）在B點(diǎn)撤去軌道后，小球?qū)⒆鲱惼綊佭\(yùn)動(dòng)，由題，小球經(jīng)0.02s時(shí)，其動(dòng)能與在A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能相等，說(shuō)明小球經(jīng)0.04s時(shí)偏轉(zhuǎn)量等于2R，由位移公式和牛頓第二定律結(jié)合求出質(zhì)量．

解答：解：（1）、（2）小球在電場(chǎng)和重力場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樾∏蛟贏點(diǎn)具有最大動(dòng)能，所以復(fù)合場(chǎng)的方向由O指向A，在AO延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)B處小球具有最小動(dòng)能E_kB．設(shè)小球在復(fù)合場(chǎng)中所受的合力為F，則有；
N-F=m

v 2 A

R

即：120-F=m

v 2 A

0.8

=

EkA

0.4

帶電小球由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，重力和電場(chǎng)力的合力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
-F?2R=E_KB-E_KA=-32   
由此可得：F=20N，E_KB=8J
即小球的最小動(dòng)能為8J，重力和電場(chǎng)力的合力為20N．
（3）帶電小球在B處時(shí)撤去軌道后，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，即在BA方向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，在垂直于BA方向上做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球的質(zhì)量為m，則：
2R=

1

2

F

m

t²    
解得：m=

Ft2

4R

=0.01kg
答：（1）小球的最小動(dòng)能是8J；
（2）小球受到重力和電場(chǎng)力的合力是20N；
（3）小球的質(zhì)量為0.01kg．

點(diǎn)評(píng)：本題可以運(yùn)用豎直平面內(nèi)繩子系住的小球運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類比，A相當(dāng)于物理的最低點(diǎn)，B相當(dāng)于物理的最高點(diǎn)．