Question

【題目】牛頓思考月球繞地球運行的原因時，蘋果偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運動的力與拉著蘋果下落的力，是否都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律——平方反比規律？因此，牛頓開始了著名的“月—地檢驗”。

（1）已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請你據此計算月球公轉的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值；

（2）在牛頓的時代，月球與地球的距離r、月球繞地球公轉的周期T等都能比較精確地測定，請你據此寫出計算月球公轉的向心加速度a的表達式；已知r≈3.84×108 m，T≈2.36×106s，地面附近的重力加速度g＝9.80 m/s2，請你根據這些數據估算比值；與（1）中的結果相比較，你能得出什么結論？

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）設月球的質量為m月，地球質量為M，根據牛頓第二定律有：

設蘋果的質量為m，地球半徑為R，根據牛頓第二定律有：

由題意知：

聯立①②③式可得

（2）由向心加速度的表達式得，其中

聯立④⑤可得，代入相關數據可得：

比較（1）中的結果，二者近似相等，由此可以得出結論：牛頓的猜想是正確的，即地球對月球的引力，地面上物體的重力，都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律——平方反比規律。