Question

【題目】如圖為某種魚餌自動投放器的裝置示意圖,其下半部AB是一長為2R的豎直細管,上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管,管口C處切線水平,AB管內有原長為R、下端固定的輕質彈簧。在彈簧上端放置一粒質量為m的魚餌,解除鎖定后彈簧可將魚餌彈射出去。投餌時,每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定,此時彈簧的彈性勢能為6mgR(g為重力加速度)。不計魚餌在運動過程中的機械能損失,求:

(1)魚餌到達管口C時的速度大小v1。

(2)魚餌到達管口C時對管子的作用力大小和方向。

(3)已知地面比水面高出1.5R,若豎直細管的長度可以調節,圓弧彎道管BC可隨豎直細管一起升降。求魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO'之間的最大距離Lmax。

Answer 1

【答案】(1)　(2)6mg，方向向上　(3)9R

【解析】

根據能量守恒定律求出魚餌到達管口C時的速度大小；根據牛頓第二定律求出管口對魚餌的作用力大小，從而結合牛頓第二定律求出魚餌對管子的作用力大小和方向；根據機械能守恒定律求出平拋運動的初速度，結合平拋運動的規律求出水平位移的表達式，通過數學知識得出魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO′之間的最大距離。

解：(1)魚餌到達管口C的過程中彈簧的彈性勢能轉化為魚餌的重力勢能和動能，有：

解得

(2)設C處管子對魚餌的作用力向下，大小設為F，

根據牛頓第二定律有：

解得

由牛頓第三定律可得魚餌對管子的作用力F′=6mg，方向向上。

(3)設AB長度為h，對應平拋水平距離為x，

由機械能守恒定律有：

由平拋運動的規律得，

解得

當時，x的最大值

則