Question

（2008?茂名模擬）地球質量為M，半徑為R，自轉角速度為ω，萬有引力恒量為G，如果規定物體在離地球無窮遠處勢能為0，則質量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可表示為Ep=-G

Mm

r

．國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學實驗．設空間站離地面高度為h，如果在該空間站上直接發射一顆質量為m的小衛星，使其能到達地球同步衛星軌道并能在軌道上正常運行，求該衛星在離開空間站時必須具有多大的初動能？

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力求出衛星在同步軌道上的動能，以及通過萬有引力勢能的表達式求出衛星在同步軌道上的引力勢能，從而得出在同步軌道上同步衛星的機械能，根據機械能守恒定律求出衛星在空間站上的機械能，結合引力勢能的大小求出衛星在離開空間站時必須具有的初動能．

解答：解：由G

Mm

r2

=

mv2

r

得，衛星在空間站上動能為Ek=

1

2

mv2=G

Mm

2(R+h)

衛星在空間站上的引力勢能為EP=-G

Mm

(R+h)

機械能為E1=Ek+Ep=-G

Mm

2(R+h)

同步衛星在軌道上正常運行時有G

Mm

r2

=mω2r
故其軌道半徑r=

3	GM ω2

由上式可得同步衛星的機械能E2=-G

Mm

2r

=-

1

2

m

3	G2M2ω2

衛星運動過程中機械能守恒，故離開航天飛機的衛星的機械能應為E₂，
設離開航天飛機時衛星的初動能為E_k0
則E_k0=E2-Ep=-

1

2

m

3	G2M2ω2

+G

Mm

R+h

．
答：該衛星在離開空間站時必須具有初動能為-

1

2

m

3	G2M2ω2

+G

Mm

R+h

．

點評：解決本題的關鍵知道衛星在運行的過程中機械能守恒，以及掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運用．