Question

經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識．雙星系統由兩個星體構成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離．一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統來處理．現根據對某一雙星系統的光度學測量確定：該雙星系統中每個星體的質量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做勻速圓周運動．
（1）試計算該雙星系統的運動周期T_計算；
（2）若實際上觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：

N

（N＞1）．為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線的中點為圓心、

L

4

為半徑的一個球體內均勻分布著這種暗物質．若不考慮其他暗物質的影響，請根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．（球的體積V=

4

3

πr3，式中r為球半徑）

Answer 1

分析：（1）根據對稱性可知，兩顆星都繞系統中心做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質引力和星星引力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解出暗物質的質量，再求解密度．

解答：解：（1）由于每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，滿足萬有引力定律的使用條件．
雙星均繞它們連線的中點做勻速圓周運動，其運動的周期為T_計算，萬有引力提供向心力：

Gm2

L2

=m?(

2π

T計算

)2?

L

2

；
解得 T計算=πL

2L Gm

；
（2）根據觀測結果，星體的運動周期  T觀測=

1

N

T計算（N＞1）．
這種差異是由雙星間均勻分布的暗物質引起的．設均勻分布在半徑為

L

4

的球體內的暗物質的總質量為m'．考慮暗物質作用后雙星的周期即為觀測到的周期T_觀測，則有

Gm2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

=m?(

2π

T   觀測

)2?

l

2

；
由以上各式解得  m′=

N-1

4

m；
設所求暗物質的密度為ρ，則有m′=ρ?

4

3

?πr3，式中半徑r=

L

4

；
即

N-1

4

m=ρ

4

3

π(

L

4

)3；
解得ρ=

12(N-1)m

πL3

；
答：（1）該雙星系統的運動周期T_計算為πL

2L Gm

；
（2）該星系間這種暗物質的密度為

12(N-1)m

πL3

．

點評：本題關鍵找出向心力來源，然后根據牛頓第二定律列方程求解，要細心，不難．