Question

（2012?東至縣模擬）如圖所示，水平軌道上，輕彈簧左端固定，自然狀態時右端位于P點．現用一質量m=0.1kg的小物塊（視為質點）將彈簧壓縮后釋放，物塊經過P點時的速度v₀=18m/s，經過水平軌道右端Q點后恰好沿半圓軌道的切線進入豎直固定的圓軌道，最后滑上質量M=0.9kg的長木板（木板足夠長，物塊滑上去不會從木板上掉下來）．已知PQ間的距離l=1m，豎直半圓軌道光滑且半徑R=1m，物塊與水平軌道間的動摩擦因數?₁=0.15，與木板間的動摩擦因數?₂=0.2，木板與水平地面間的動摩擦因數?₃=0.01，取g=10m/s²．
（1）判斷物塊經過Q點后能否沿圓周軌道運動；
（2）求木板滑行的最大距離x．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律求得物塊在PQ上運動的加速度，根據運動學公式求得進入軌道的速度，在Q點根據牛頓第二定律求得對軌道的壓力，只要壓力大于等于0就能沿軌道運動，否則不能．
（2）根據機械能守恒求出滑上木板的速度，根據牛頓第二定律求出滑上木板的加速度，再根據運動學公式求出位移．

解答：解：（1）物塊在PQ上運動的加速度
a₁=-?₁g=-1.5m/s² 
進入圓周軌道時的速度為v
v²-v₀²=2a₁l 
得v²=v₀²+2a₁l=321 m²/s²
設物塊剛離開Q點時，圓軌道對物塊的壓力為F_N，
根據牛頓定律，有F_N+mg=m

v2

R

F_N=m

v2

R

-mg=31.1N＞0
故物塊能沿圓周軌道運動
（2）物塊滑上木板時的速度為v₁
根據機械能守恒有

1

2

mv²+mg?2R=

1

2

mv₁²
得v₁=19m/s
物塊滑上木板時的加速度為a₂
根據牛頓第二定律有
a₂=-?₂g=-2m/s²
木板的加速度位a₃
?₂mg-?₃（m+M）g=Ma₃
a3=

μ2mg-μ3(M+m)g

M

=

1

9

m/s²
設物塊滑上木板經過時間t二者共速，
v₁+a₂t=a₃t  得t=9s
這時木板的位移s₁=

1

2

a₃t²=4.5m
它們的共同速度v₂=a₃t=1m/s
物塊和木板一起減速的加速度a₄=-?₃g=-0.1m/s²
它們減速運動的位移s₂=

-v22

2a4

=5m
x=s₁+s₂=9.5m 
答：（1）物塊能沿圓周軌道運動；
（2）木板滑行的最大距離x為9.5m．

點評：此題要求能熟練運用牛頓第二定律分析解決問題，同時要能熟練掌握勻變速運動的各種公式，此題對過程分析要求較高，屬于中檔題．