Question

飛行時間質譜儀可以根據帶電粒子的飛行時間對氣體分子進行分析。如圖所示，在真空狀態下，自脈沖閥P噴出微量氣體，經激光照射產生不同正離子，自a板小孔進入a、b間的加速電場，從b板小孔射出，沿中線方向進入M、N板間的方形區域，然后到達緊靠在其右側的探測器。已知極板a、b間的電壓為U₀，間距為d，極板M、N的長度和間距均為L。不計離子重力及經過a板時的初速度。
（1）若M、N板間無電場和磁場，請推導出離子從a板到探測器的飛行時間t與比荷k（k=，q和m分別為離子的電荷量和質量）的關系式；
（2）若在M、N間只加上偏轉電壓U₁，請論證說明不同正離子的軌跡是否重合；
（3）若在M、N間只加上垂直于紙面的勻強磁場。已知進入a、b間的正離子有一價和二價的兩種，質量均為m，元電荷為e。要使所有正離子均能通過方形區域從右側飛出，求所加磁場的磁感應強度的最大值B_m。

Answer 1

解：（1）帶電離子在平行板a、b間運動時，根據動能定理   ①
解得：，即
帶電離子在平行板a、b間的加速度，即
所以，帶電離子在平行板a、b間的運動時間
帶電離子在平行板M、N間的運動時間
所以，帶電離子的全部飛行時間
（2）正離子在平行板M、N間水平方向運動位移為x時，在豎直方向運動的位移為y
水平方向滿足  ②
豎直方向滿足   ③
加速度     ④
由上述②、③、④式得：   ⑤
⑤式是正離子的軌跡方程，與正離子的質量和電荷量均無關。所以，不同正離子的軌跡是重合的
（3）當M、N間磁感應強度大小為B時，離子做圓周運動，滿足 ⑥
由上述①、⑥兩式，解得：帶電離子的軌道半徑    ⑦
上式表明：在離子質量一定的情況下，離子的電荷量越大，在磁場中做圓周運動的半徑越小，也就越不容易穿過方形區從右側飛出。所以，要使所有的一價和二價正離子均能通過方形區從右側飛出，只要二價正離子能從方形區飛出即可。當二價正離子剛好能從方形區域飛出時的磁感應強度為滿足題目條件的磁感應強度的最大值
設當離子剛好通過方形區從右側飛出時的軌道半徑為R，由幾何關系得
解得：   ⑧
將二價正離子的電量2e代入⑦式得：   ⑨
由⑧、⑨式得：，此值即為所求的磁感應強度的最大值B_m