Question

【題目】人類研究磁場的目的之一是為了通過磁場控制帶電粒子的運動。如圖所示，是通過磁場控制帶電粒子運動的一種模型。在0≤x＜d和d＜x≤2d的區域內，分別存在磁感應強度均為B的勻強磁場，方向分別垂直紙面向里和垂直紙面向外。在坐標原點有一粒子源，連續不斷地沿x軸正方向釋放出質量為m，帶電量為q(q>0)的粒子，其速率有兩種，分別為v1＝，v2＝。(不考慮粒子的重力、粒子之間的相互作用)試計算下列問題：

(1)求兩種速率的粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中做圓周運動的半徑大小R1和R2；

(2)求兩種速率的粒子從x＝2d的邊界射出時，兩出射點的距離Δy的大小；

(3)在x＞2d的區域添加一勻強磁場B1，使得從x＝2d邊界射出的兩束粒子最終匯聚成一束，并平行y軸正方向運動。在圖中用實線畫出粒子的大致運動軌跡(無需通過計算說明)，用虛線畫出所添加磁場的邊界線。

Answer 1

【答案】（1）R1＝d R2＝2d（2）d

（3）如圖；

【解析】試題分析：利用洛倫茲力提供向心力結合兩粒子速率，聯立即可求出兩種速率的粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中做圓周運動的半徑大小R1和R2；畫出粒子運動軌跡的示意圖，利用幾何關系即可求出兩種速率的粒子從x=2d的邊界射出時，兩出射點的距離△y的大小；在x＞2d的區域添加一勻強磁場B1，使得從x=2d邊界射出的兩束粒子最終匯聚成一束，并平行y軸正方向運動，可知兩粒子在磁場中均轉過90°的圓心角，定性利用幾何關系和左手定則即可畫出可能的粒子軌跡和磁場區域的邊界，以及磁場的方向。

（1）粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中做勻速圓周運動有：，解得：

又因為粒子速率有兩種，v1＝，v2＝

所以： R2＝2d

(2)如圖為某一速率的粒子運動的軌跡示意圖：

輔助線如圖所示。由幾何關系知道，速率為v1的粒子射出x＝2d邊界時的坐標為

速率為v2的粒子射出x＝2d邊界時的坐標為

所以

（3）兩個粒子軌跡如圖中實線所示，磁場邊界如圖中虛線所示，可以使得從x=2d邊界射出的兩束粒子最終匯聚成一束，并平行y軸正方向運動。