Question

【題目】如圖所示，同軸圓形區域內、外半徑分別為R1＝1 m、R2＝m，半徑為R1的圓內分布著B1＝2.0 T的勻強磁場，方向垂直于紙面向外；外面環形磁場區域分布著B2＝0.5 T的勻強磁場，方向垂直于紙面向內．一對平行極板豎直放置，極板間距d＝cm，右極板與環形磁場外邊界相切，一帶正電的粒子從平行極板左板P點由靜止釋放，經加速后通過右板小孔Q，垂直進入環形磁場區域．已知點P、Q、O在同一水平線上，粒子比荷4×107C/kg，不計粒子的重力，且不考慮粒子的相對論效應．求：

(1) 要使粒子不能進入中間的圓形磁場區域，粒子在磁場中的軌道半徑滿足什么條件？

(2) 若改變加速電壓大小，可使粒子進入圓形磁場區域，且能豎直通過圓心O，則加速電壓為多大？

(3) 從P點出發開始計時，在滿足第(2)問的條件下，粒子到達O點的時刻．

Answer 1

【答案】(1) r1<1m. (2) U＝3×107V. (3) t=(6.1×10－8＋12.2×10－8k)s(k＝0，1，2，3，…)

【解析】

（1）畫出粒子恰好不進入中間磁場區的臨界軌跡，先根據幾何關系求出半徑；

（2）畫出使粒子進入圓形磁場區域，且能豎直通過圓心O的軌跡，結合幾何關系求解半徑，然后根據洛倫茲力提供向心力列方程，再根據動能定理對直線加速過程列方程，最后聯立方程組求解加速電壓；

（3）由幾何關系，得到軌跡對應的圓心角，求解粒子從Q孔進入磁場到第一次到O點所用的時間，然后考慮周期性求解粒子到達O點的時刻．

(1) 粒子剛好不進入中間磁場時軌跡如圖所示，設此時粒子在磁場中運動的半徑為r1，在Rt△QOO1中有r12＋R22＝(r1＋R1)2

代入數據解得r1＝1m

粒子不能進入中間磁場，所以軌道半徑r1<1m.

(2) 軌跡如圖所示，由于O、O3、Q共線且水平，粒子在兩磁場中的半徑分別為r2、r3，洛倫茲力不做功，故粒子在內外磁場的速率不變，由qvB＝m

得r＝

易知r3＝4r2

且滿足(r2＋r3)2＝(R2－r2)2＋r32

解得r2＝m，r3＝m

又由動能定理有qU＝mv2

代入數據解得U＝3×107V.

(3)帶電粒子從P到Q的運動時間為t1，則t1滿足v t1＝d

得t1＝10－9s

令∠QO2O3＝θ，所以cosθ＝0.8，θ＝37°(反三角函數表達亦可)

圓周運動的周期T＝

故粒子從Q孔進入磁場到第一次到O點所用的時間為

考慮到周期性運動，t總＝t1＋t2＋k(2t1＋2t2)＝(6.1×10－8＋12.2×10－8k)s(k＝0，1，2，3，…)．