Question

某種小發電機的內部結構平面圖如圖1所示，永久磁體的內側為半圓柱面形狀，它與共軸的圓柱形鐵芯間的縫隙中存在輻向分布、大小近似均勻的磁場，磁感應強度B=0.5T．磁極間的缺口很小，可忽略．如圖2所示，單匝矩形導線框abcd繞在鐵芯上構成轉子，ab=cd=0.4m，bc=0.2m．鐵芯的軸線OO′在線框所在平面內，線框可隨鐵芯繞軸線轉動．將線框的兩個端點M、N接入圖中裝置A，在線框轉動的過程中，裝置A能使端點M始終與P相連，而端點N始終與Q相連．現使轉子以ω=200π rad/s角速度勻速轉動．在圖1中看，轉動方向是順時針的，設線框經過圖1位置時t=0．（取π=3）
（1）求t=

1

400

s時刻線框產生的感應電動勢；
（2）在圖3給出的坐標平面內，畫出P、Q兩點電勢差U_PQ隨時間變化的關系圖線（要求標出橫、縱坐標標度，至少畫出一個周期）；
（3）如圖4所示為豎直放置的兩塊平行金屬板X、Y，兩板間距d=0.17m．將電壓U_PQ加在兩板上，P與X相連，Q與Y相連．將一個質量m=2.4×10^-12kg，電量q=+1.7×10^-10C的帶電粒子，在t₀=6.00×10^-3s時刻，從緊臨X板處無初速釋放．求粒子從X板運動到Y板經歷的時間．（不計粒子重力）

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律E=BSω直接求出感應電動勢的大小；
（2）通過右手定則確定PQ兩點間的電勢高低，從而判斷開始時PQ間電勢的高低，由圖示電場知線框轉過π弧度PQ間電勢將反向，根據已知的角速度可以求出電勢變化的時間．
（3）抓住開始時的時間，在一個運動周期內：根據圖象知，在t₀=6.00×10^-3s時刻電動勢為正的，粒子將向Y板做初速度為0的勻加速直線運動，運動時間為T-t₀然后再向Y板做勻減速直線運動，經過0.004s時速度減為0．然后再向X板勻加速0.001s，在緊接著的0.001s內粒子將向X板勻減速運動至速度為0，然后進入第二個運動周期．根據分段運動特點求出每個周期前進的距離，根據已知位移從而求出時間即可．

解答：解：（1）根據法拉第電磁感應定律知：感應電動勢   E=BSω=B×ab×bc×ω    
代入數據得     E=24V             
（2）由題意知線框轉過π弧度電勢將反向，根據右手定則知，開始時P點電勢低即U_PQ=-24V，電勢反向時間為
t=

π

ω

=0.005s，所以圖象為：


（3）粒子開始運動后一個周期內的運動示意圖如圖所示
粒子在電導中產生的加速度大小為：a=

Uq

dm

向Y板加速的距離  s1=

1

2

a×(T-t0)2=0.08m     
向X板加速的距離  s2=

1

2

a×(t0-

1

2

T)2=0.005m   
一個周期內前進的距離   S=2S₁-2S₂=0.15m  　　 
由于S＜d，d-S=0.02m＜S₁，所以粒子將在下一周期向Y板加速過程中到達Y板
設這次加速時間為t    d-s=

1

2

at2t=2.0×10^-3s   
求出總時間     　　　t_總=T+t=1.2×10^-2s    　 
答：（1）感應電動勢為24V
（2）圖象見上圖；
（3）粒子經歷時間為1.2×10^-2s

點評：掌握法拉第電磁感應定律及通過右手定則判斷感應電勢的高低是解決本題前兩問的基礎，在粒子往復運動中根據粒子的受力特點和運動的周期性展開討論即可．