Question

如圖所示，兩根平行金屬導軌相距L，上端接有直流電源，電源電動勢為E，內阻為r，導軌的傾斜部分與水平面成θ角，水平部分右端與阻值為R的電阻相連．傾斜部分存在垂直斜面向上的勻強磁場，水平部分存在垂直水平面向下的勻強磁場，兩部分磁場的磁感應強度大小相等．傾斜導軌與水平導軌光滑連接，金屬棒a與導軌接觸良好，質量為m，電阻也為R．金屬導軌固定不動且電阻不計．不計一切摩擦．導軌的傾斜部分和水平部分都足夠長．求：
（1）開關閉合時，金屬棒a恰能處于靜止狀態，求勻強磁場磁感應強度的大小？
（2）斷開開關，從靜止釋放金屬棒a，在金屬棒a進入水平軌道后，電路中產生的最大焦耳熱為多少？

Answer 1

分析：（1）開關閉合時，金屬棒a恰能處于靜止狀態，棒a所受的重力、安培力和導軌的支持力三力平衡，根據閉合電路歐姆定律、安培力公式和平衡條件列方程，求解即可．
（2）斷開開關，從靜止釋放金屬棒a，先做加速運動，隨著速度增大，棒產生的感應電動勢和感應電流增大，合力減小，加速度減小，由于導軌的傾斜部分足夠長，所以金屬棒在進入水平軌道前做勻速運動，根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式和平衡條件求出勻速運動時的速度．在金屬棒a進入水平軌道后，棒a做減速運動，最終由于安培力作用而停止運動，動能全部轉化為內能，根據能量守恒求解．

解答：解：（1）設開關閉合時，電路的總電阻為R₁，電路中的總電流為I₁，流過金屬a的電流為I_a，則：
R1=

1

2

R+r…①
I1=

E

R1

…②
Ia=

I1

2

…③
金屬棒a平衡，則mgsinθ=BI_aL…④
解得：B=

mg(R+2r)sinθ

EL

…⑤
（2）由于軌道傾斜部分足夠長，金屬棒在進入水平軌道前做勻速運動，設斷開開關時，電路的總電阻為R₂，金屬棒a做勻速運動的速度為v₂，棒中的電動勢E₂，電路中的電流為I₂，則R₂=2R   …⑥
 E₂=BLυ₂ …⑦
 I2=

E2

R2

  …⑧
金屬棒在傾斜導軌上以v₂勻速運動，處于平衡狀態，
則mgsinθ=BI₂L     …⑨
解得：υ2=

2mgRsinθ

B2L2

  …⑩
在金屬棒a進入水平軌道后，設電路中產生的最大焦耳熱為Q，根據能量守恒：Q=

1

2

m

υ

2 2

 
解得：Q=

2E4R2

mg2sin2θ(R+2r)4

                                
答：（1勻強磁場磁感應強度的大小為

mg(R+2r)sinθ

EL

．
（2）斷開開關，從靜止釋放金屬棒a，在金屬棒a進入水平軌道后，電路中產生的最大焦耳熱為

2E4R2

mg2sin2θ(R+2r)4

．

點評：本題分析時，一定要注意題中條件：導軌的傾斜部分和水平部分都足夠長，分析知道在斜軌上棒最終勻速運動，在水平軌道上最終靜止，再運用電磁感應的規律和力學知識求解．