Question

如圖所示，半徑R="0.2" m的光滑四分之一圓軌道PQ豎直固定放置，末端Q與一長L = 0.8m的水平傳送帶相切，水平銜接部分摩擦不計，傳動輪(輪半徑很小)作順時針轉動，帶動傳送帶以恒定的速度v₀運動。傳送帶離地面的高度h ="1.25" m，其右側地面上有一直徑D =" 0.5" m的圓形洞，洞口最左端的A點離傳送帶右端的水平距離s="1m," B點在洞口的最右端。現使質量為m="0.5" kg的小物塊從P點由靜止開始釋放，經過傳送帶后做平拋運動，最終落入洞中，傳送帶與小物塊之間的動摩擦因數μ ＝ 0.5。g取10m/s²。求：

(1)小物塊到達圓軌道末端Q時對軌道的壓力；
(2)若v₀ =3m/s，求物塊在傳送帶上運動的時間T；
(3)若要使小物塊能落入洞中，求v₀應滿足的條件。

Answer 1

　(1) 15 N，方向豎直向下 (2) 0.3 s(3) 2m/s <v₀<3m/s

　(1)設物塊滑到圓軌道末端速度v₁，物塊在軌道末端所受支持力的大小為N
根據機械能守恒定律得mgR ＝mv  根據牛頓第二定律得 N－mg ＝ m
聯立以上兩式代入數據得：N＝ 15 N
根據牛頓第三定律，對軌道壓力大小為15 N，方向豎直向下
(2)物塊在傳送帶上加速運動時， 由μmg ＝ ma , 得a ＝ μg＝5m/s²
加速到與傳送帶達到同速所需要的時間t₁＝ ＝ 0.2 s
位移s₁＝t₁＝ 0.5 m <L    勻速時間t₂＝ ＝ 0.1 s
故T ＝ t₁＋ t₂＝ 0.3 s
(3)物塊離開傳送帶右端后做平拋運動， 則h ＝gt²恰好落到A點　s ＝ v₂t　　
得v₂＝ 2m/s   恰好落到B點　D ＋ s ＝ v₃t　　得v₃＝ 3m/s 
故v₀應滿足的條件是2m/s <v₀<3m/s
本題考查機械能守恒定律和牛頓第二定律的應用，從N點到N點只有重力做功，機械能守恒，設最低點為零勢能面根據動能定理可求得到傳送帶左端的速度，在N點為圓周運動的最低點，由支持力和重力的合力提供向心力，由此可求得支持力大小，物塊在傳送帶上由滑動摩擦力提供加速度，物體的速度大于傳送帶速度，所受滑動摩擦力向左，做勻減速直線運動，當減速到與傳送帶速度相同時隨著傳送帶一起運動，根據這兩個過程的位移關系可分別求得運動時間，離開傳送帶后物體做平拋運動，由豎直高度決定運動時間和水平方向勻速運動可求得水平速度的取值范圍