Question

A、B兩顆人造衛星繞地球做圓周運動，它們的圓軌道在同一平面內，周期之比是

T1

T2

=

3 3

2 2

．若兩顆衛星的最近距離等于地球半徑R，已知在地面附近繞地球做圓周運動的衛星周期為T₀．求：
（1）這兩顆衛星的周期各是多少？
（2）從兩顆衛星相距最近開始計時到兩顆衛星相距最遠至少經過多少時間？

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，結合兩衛星的軌道關系，以及周期關系求出兩顆衛星的周期．
（2）結合兩顆衛星相距最近開始計時到兩顆衛星相距最遠轉過的角度之差等于π求出最短的時間．

解答：解：（1）設地球的質量為M，繞地球表面運動的衛星的質量為m′G

Mm′

R2

=m′

4π2

T 2 0

R①
設兩個衛星中，離地球較近的質量為m₁，離地球的距離為r₁．較遠的質量為

m

2

，離地球的距離為r₂
G

Mm1

r 2 1

=m1

4π2

T 2 1

r1②
G

Mm2

r 2 2

=m2

4π2

T 2 2

r2③
r₂=r₁+R④

T1

T2

=

3 3

2 2

⑤
解得T1=3

3

T0，T2=2

2

T0
（2）當兩者相距最遠時，最少的時間應該滿足下式：

2π

T1

t-

2π

T2

t=π
t=

3 6

3 3 -2 2

T0
答：（1）這兩顆衛星的周期各是T1=3

3

T0，T2=2

2

T0．
（2）從兩顆衛星相距最近開始計時到兩顆衛星相距最遠至少經過t=

3 6

3 3 -2 2

T0

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，知道周期與軌道半徑的關系．以及知道兩顆衛星從相距最近到相距最遠所轉過的角度之差等于π的奇數倍．