Question

如圖，光滑水平面上固定著一對豎直放置的平行金屬板G和H。在金屬板G右壁固定一個可視為質點的小球C，其質量為 M_c＝0.01 kg、帶電荷量為q＝＋1×10^-5 C。G、H兩板間距離為d＝10 cm，板H下方開有能讓小球C自由通過的小洞。質量分別為M_a＝0.01 kg和M_b＝0.02 kg的不帶電絕緣小球A、B用一輕質彈簧連接，并用細線拴連使彈簧處于壓縮狀態，靜放在H板右側的光滑水平面上，如圖a所示。現將細線燒斷，小球A、B在彈簧作用下做來回往復運動（A球不會進入G、H兩板間）。以向右為速度的正方向，從細線斷開后的某時刻開始計時，得到A球的速度—時間圖象如圖(b)所示。

圖（a）

圖（b）

（1）求在t=0、、時刻小球B的速度，并在圖(b)中大致畫出B球的速度—時間圖象；

（2）若G、H板間是電場強度為E=8×10⁴ V/m的勻強電場，在某時刻將小球C釋放，則小球C離開電場時的速度為多大？若小球C以離開電場時的速度向右勻速運動，它將遇到小球A，并與之結合在一起運動，試定量分析在各種可能的情況下彈簧的最大彈性勢能（即最大彈性勢能的范圍）。

Answer 1

解：本題考查靜電學、動力學、能量、動量的綜合運用能力。考查動量守恒定律、能量守恒定律的理解和應用。考查邏輯推理能力、綜合分析能力、運用數學知識解決物理問題的能力和探究能力。

（1）對于小球A、B與輕質彈簧組成的系統，當燒斷細線后動量守恒：

M_Av_A+M_Bv_B=0

v_B===

當t=0時有：v_B1=×0=0

當t=時有：v_B1=×4 m/s=－2 m/s

當t=時有：v_B3=×(-4) m/s=2 m/s

小球B的速度圖象如圖所示。

（2）當金屬板間加有勻強電場時，電場力對小球做功，小球獲得初動能并離開金屬板，電場力做功：

W=qEd=1×10^-5×8×10⁴×0.1 J=0.08 J

由動能定理得：

W=  v_C= m/s=4 m/s

因水平方向A、B、C三小球系統不受外力，故系統動量守恒。

由此可得：不論A、C兩球何時何處相碰，三球的共同速度是一個定值，即三球速度相同時的總動能是一定值。

M_Cv_C＝（M_A＋M_B＋M_C）v_共,解得v_共＝1 m/s

當三球速度相同時彈簧的彈性勢能最大。

當A球在運動過程中速度為4 m/s且與C球同向時，跟C球相碰，系統損失能量最小（為0），此情況下三球在運動過程中彈簧具有的最大彈性勢能設為E₁

E₁=(M_A+M_B+M_C)v_共²=0.18 J

當A球在運動過程中速度為4 m/s與C球反向時，跟C球相碰，系統損失能量最大，此情況下三球運動的過程中彈簧具有的最大彈性勢能設為E₂

M_Cv_C—M_Av_A＝（M_A+M_C）v₃,解得v₃ =0

E₂＝（M_A＋M_C）v₃²＋（M_A＋M_B＋M_C）v_共²＝0.02 J

由上可得：彈簧具有的最大彈性勢能E_pM的可能值在0.02 J—0.18 J的范圍內。