Question

在豎直平面內有一個光滑的半圓軌道，軌道兩端連線即直徑在豎直方向，軌道半徑為0.9m，一個質量為0.5kg的小球以一定的初速度滾上軌道（取g=10m/s²）．求：
（1）小球在最高點不脫離軌道的最小速率是多少？
（2）小球在最高點速率v=4m/s時，小球對軌道的壓力是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在最高點不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運動所需要的向心力，當只由重力提供向心力時，速度最小，根據牛頓第二定律列式求出最小速率．
（2）小球在最高點速率v=4m/s時，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，列式求出軌道對小球的壓力，再根據牛頓第三定律得到小球對軌道的壓力．

解答：解（1）在最高點小球不脫離軌道的條件是重力不大于小球做圓周運動所需要的向心力，即：
mg≤m

v2

R

    
則所求的最小速率：
v_min=

gR

=

0.9×10

m/s=3m/s
（2）因為v=4m/s＞v_min，所以軌道對小球有一定的壓力F．
則根據牛頓第二定律得：F+mg=m

v2

R

      
所以 F=m（

v2

R

-g）=0.5×（

42

0.9

-10）N≈3.9N
由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力為：F′=F=3.5N
答：（1）小球在最高點不脫離軌道的最小速率是3m/s．
（2）小球在最高點速率v=4m/s時，小球對軌道的壓力是3.5N．

點評：本題與輕繩的模型類似，關鍵分析小球的受力，確定什么力提供向心力，運用牛頓運動定律研究圓周運動動力學問題．