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【題目】工廠質檢員從生產線上每半個小時抽取一件產品并對其某個質量指標進行檢測，一共抽取了件產品，并得到如下統計表．該廠生產的產品在一年內所需的維護次數與指標有關，具體見下表.

（1）以每個區間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣本數據估計該廠產品的質量指標的平均值（保留兩位小數）；

（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產品，再從件產品中隨機抽取件產品，求這件產品的指標都在內的概率；

（3）已知該廠產品的維護費用為元/次，工廠現推出一項服務：若消費者在購買該廠產品時每件多加元，該產品即可一年內免費維護一次.將每件產品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這件產品每件都購買該服務，或者每件都不購買該服務，就這兩種情況分別計算每件產品的平均消費費用，并以此為決策依據，判斷消費者在購買每件產品時是否值得購買這項維護服務？

【題目】已知函數，其中.

(1)當時，求函數在上的最大值和最小值；

(2)若函數為上的單調函數，求實數的取值范圍.

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線l與曲線C交于A，B兩個不同的點.

（1）求曲線C的直角坐標方程；

（2）若點P為直線l與x軸的交點，求的取值范圍.

【題目】已知函數,為的導函數.

(1)求證:在上存在唯一零點;

(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.

【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“衛星圓”.若橢圓C的離心率,點在C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛星圓”方程;

(2)點P是橢圓C的“衛星圓”上的一個動點,過點P作直線,使得,與橢圓C都只有一個交點,且,分別交其“衛星圓”于點M,N,證明:弦長為定值.

【題目】李克強總理在2018年政府工作報告指出，要加快建設創新型國家，把握世界新一輪科技革命和產業變革大勢，深入實施創新驅動發展戰略，不斷增強經濟創新力和競爭力.某手機生產企業積極響應政府號召，大力研發新產品，爭創世界名牌.為了對研發的一批最新款手機進行合理定價，將該款手機按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數據，如表所示：

已知.

（1）若變量具有線性相關關系，求產品銷量（百件）關于試銷單價（千元）的線性回歸方程；

（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與對應的產品銷量的估計值.當銷售數據對應的殘差的絕對值時，則將銷售數據稱為一個“好數據”.現從個銷售數據中任取個子，求“好數據”個數的分布列和數學期望.

（參考公式：線性回歸方程中的估計值分別為.

【題目】《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早1000多年,在《九章算術》中,將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.

(1)求證:四棱錐為陽馬;

(2)若,當鱉膈體積最大時,求銳二面角的余弦值.

【題目】設數列的前n項和為,已知,,.

(1)證明:為等比數列,求出的通項公式;

(2)若,求的前n項和,并判斷是否存在正整數n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.

【題目】在①；②；③ 這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題.

在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.

【題目】2019年7月,中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產名錄,標志著中華五千年文明史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實證了中華五千年文明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”這一規律.已知樣本中碳14的質量N隨時間Ｔ(單位:年)的衰變規律滿足(表示碳14原有的質量),則經過5730年后,碳14的質量變為原來的______;經過測定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的至,據此推測良渚古城存在的時期距今約在5730年到______年之間.(參考數據:,,)