Question

（本小題滿分14分）

一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形.

（Ⅰ）請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

（Ⅱ）用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁? 如何組拼？試證明你的結論；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,設正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點為E, 求平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；

 （Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體， 證明:見解析；

（Ⅲ）平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值為.

【解析】本試題主要是考查了三視圖和空間幾何體的體積公式的運用，以及求解二面角的平面角的綜合運用。

（1）由于三視圖風影的幾何體是四棱錐，一條側棱垂直底面，畫出圖形，根據三視圖的數據，求出四棱錐的體積．

（2）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，

故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，

（3）設B₁E，BC的延長線交于點G，

 連結GA，在底面ABC內作BH⊥AG，垂足為H，

連結HB₁，則B₁H⊥AG，故∠B₁HB為平面AB₁E與

平面ABC所成二面角或其補角的平面角，然后借助于三角形得到求解。

解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的正方形，高為CC₁=6，故所求體積是

  ------------------------4分

 （Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，

故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D為全等的

正方形，于是

  故所拼圖形成立.---8分

（Ⅲ）方法一：設B₁E，BC的延長線交于點G，

 連結GA，在底面ABC內作BH⊥AG，垂足為H，

連結HB₁，則B₁H⊥AG，故∠B₁HB為平面AB₁E與

平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中，，則

，，

，故平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

方法二：以C為原點，CD、CB、CC₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系（如圖3），

∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B₁（0，6，6），A（6，6，0）.

 設向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥，

于是，解得.       --------------------12分

  取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），故平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值為. -------------14分