Question

已知拋物線C:上橫坐標為4的點到焦點的距離為5.
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線與拋物線C交于兩點，，且（，且為常數）.過弦AB的中點M作平行于軸的直線交拋物線于點D，連結AD、   BD得到.
（1）求證：；
（2）求證：的面積為定值.

Answer 1

解 （1）依題意得：，解得.
所以拋物線方程為 .
（2）由方程組消去得：.（※）
依題意可知：.
由已知得，.
由，得，
即，整理得.
所以 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知中點，
所以點，
依題意知.
又因為方程（※）中判別式，得.
所以 ，由（Ⅱ）可知，
所以.  
又為常數，故的面積為定值.