Question

【題目】已知函數有三個極值點，

（1）求實數的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）且；（2）證明見解析.

【解析】

（1）函數有3個零點等價于有3個變號零點，由于，且，所以可得有兩個不為0，－1的實根，再對求導討論其單調性可得結果；

（2）由（1）可知有一個零點為0，所以不妨設，，而，所以，因此要證，即證而，，而在上遞減，，所以只需證，即，然后構造函數，只需證此函數值恒大于零即可.

解：（1）利用的極值點個數即為的變號零點個數

，，設，

由已知，方程有兩個不為0，－1的實根，

當時，在上遞增，至多一個實根，故

所以在上遞減，在上遞增，

因為，

所以時，有兩個實根，

解得且

（2）由（1）不妨設，，∵，∴.

要證，即證而，

由在上遞減，在上遞增，且

故只要證，又，故只要證

即證

設

∴

∴遞增，∴

即

∴