Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明:；

（3）求證：對任意的，都有：，(其中為自然對數的底數)。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）分別在和兩段范圍內討論導函數的正負，從而得到單調區間；（2）將問題轉化為證明，通過導數求得，從而證得所證不等式；（3）根據（2）可知，令，則可得，再通過進行放縮，證得，從而得到所證結論.

（1）函數的定義域為，

①當時，，所以在上單調遞增

②當時，令，解得：

當時，， 所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增

（2）當時，

要證明，即證，即

設則，令得，

當時，，當時，

所以為極大值點，也為最大值點

所以，即

故

（3）由（2）（當且僅當時等號成立）

令， 則

所以

即

所以