Question

設a＞0且a≠1，命題p：函數f（x）=1og_a（1-x）-1og_a（x+1）為減函數；命題q：不等式x²+ax+2＜0有解．如果“p或q”為真，“p且q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據對數函數的單調性求命題P為真命題的條件；分析關于x的不等式x²+ax+2＜0有解等價條件是△＞0求命題q為真命題的條件；利用復合命題真值表求解即可．

解答：解：若命題p：函數f（x）=1og_a（1-x）-1og_a（x+1）=1oga(

2

x+1

-1)為減函數，為真命題，
則a＞1；
若命題q：不等式x²+ax+2＜0有解，為真命題，
則△=a²-8＞0，則a＞2

2

或a＜-2

2

又∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
則p，q恰好一真一假
當命題p為真命題，命題q為假命題時，1＜a≤2

2

；
當命題p為假命題，命題q為真命題時，a≤-2

2

故滿足條件的實數a的取值范圍是(-∞，-2

2

]∪(1，2

2

]

點評：復合命題p且q、p或q 的真假可記為：p且q 是一假即假；p或q 是一真即真．