Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為棱AB，BC的中點．
（1）試判截面MNC₁A₁的形狀，并說明理由；
（2）證明：平面MNB₁⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

分析：（I）連接AC，因為M、N分別為棱AB、BC的中點，根據MN∥A₁C₁，且MN≠A₁C₁，MNC₁A₁是梯形，易證Rt△AMA₁≌Rt△CNC₁，從而A₁M=C₁N，則MNC₁A₁是等腰梯形；
（Ⅱ）欲證平面MNB₁⊥平面BDD₁B₁，根據面面垂直的判定定理可知在平面B₁MN內一直線與平面平面BDD₁B₁垂直，而根據線面垂直的判定定理可得MN⊥平面BDD₁B₁．

解答：證明：（Ⅰ）截面MNC₁A₁是等腰梯形，（1分）
連接AC，因為M、N分別為棱AB、BC的中點，
所以MN∥AC，MN≠AC
又AC

∥

.

A₁C₁，∴MN∥A₁C₁，且MN≠A₁C₁，是梯形，（4分）
易證Rt△AMA₁≌Rt△CNC₁，∴A₁M=C₁N∴MNC₁A₁是等腰梯形（6分）
（Ⅱ）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，BB₁⊥平面ABCD，MN⊆平面ABCD，∴BB₁⊥MN，又MN∥AC，（8分）
∴MN⊥BD，BD∩BB₁=B，∴MN⊥平面BDD₁B₁，MN⊆平面B₁MN，（10分）
∴平面MNB₁⊥平面BDD₁B₁（12分）

點評：本小題主要考查空間中的線面關系，考查面面垂直的判定及截面圖形形狀的判定，考查識圖能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．