Question

（2006•朝陽區三模）在平面直角坐標系中，右焦點為F（c，0）的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點B（0，-1），向量

FG

=（λ-c，λ）（λ∈R），且|

FG

|的最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若以

m

=（1，k）（k≠0）為方向向量的直線l與曲線C相交于M、N兩點，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

的夾角為60°，試求出k值及直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用向量的模的計算公式和二次函數的單調性即可得出c，又橢圓C經過點B（0，-1），解得b²即可；
（II）設l的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），把直線l的方程與橢圓方程聯立可得△＞0及根與系數的關系，再利用垂直平分線的性質可得線段MN的垂直平分線的方程，根據△BMN為等邊三角形．可得點B到直線MN的距離d=

3

2

|MN|．再利用點到直線的距離公式和弦長公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵|

FG

|=

(λ-c)2+λ2

=

2(λ- c 2 )2+ c2 2

≥

2

2

c．
∴

2

2

c=1，即c=

2

．
又橢圓C經過點B（0，-1），解得b²=1．
所以a²=2+1=3．故橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）設l的方程為：y=kx+m，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），

y=kx+m x2+3y2=3

得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
則x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

．
△=36k²m²-12（m²-1）（1+3k²）=12[3k²-m²+1]＞0     ①
設線段MN的中點G（x₀，y₀），
x₀=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，y0=kx0+m=-

3k2m

1+3k2

+m=

m

1+3k2

．
線段MN的垂直平分線的方程為：y-

m

1+3k2

=-

1

k

(x+

3km

1+3k2

)．
∵|

BM

|=|

BN

|，∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點．
∴-1-

m

1+3k2

=-

1

k

•

3km

1+3k2

=-

3m

1+3k2

．
∴m=

1+3k2

2

．②
②代入①，得3k²-(

1+3k2

2

)2+1＞0，解得-1＜k＜1，且k≠0．③
∵|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

的夾角為60°，∴△BMN為等邊三角形．
∴點B到直線MN的距離d=

3

2

|MN|．
∵d=

|1+m|

1+k2

=

|1+ 1+3k2 2 |

1+k2

=

3

2

1+k2

，
又∵|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 6km 1+3k2 )2-4× 3m2-3 1+3k2

=

1+k2

1+3k2

12(3k2-m2+1)

=

1+k2

1+3k2

12[3k2-( 1+3k2 2 )2+1]

=3

1+k2

1+3k2

1-k2

，
∴

3

2

1+k2

=

3 3

2

1+k2

1+3k2

1-k2

．
解得k²=

1

3

，即k=±

3

3

，滿足③式．代入②，得m=

1+3k2

2

=

1+1

2

=1．
直線l的方程為：y=±

3

3

x+1．

點評：熟練掌握直線與橢圓相交問題轉化為把直線l的方程與橢圓方程聯立可得△＞0及根與系數的關系、垂直平分線的性質、等邊三角形的性質、點到直線的距離公式和弦長公式等是解題的關鍵．