Question

（本題滿分14分）已知函數（，實數，為常數）．

（Ⅰ）若，求函數的極值；

（Ⅱ）若，討論函數的單調性．

 

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）在處取得極小值.      

（Ⅱ）當，即時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當，即時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

當，即時，函數的單調遞增區間為；

當，即時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.…………………

【解析】解：（Ⅰ）函數，則，…………………1分

令，得（舍去），.   …………………………………………2分

當時，，函數單調遞減；…………………………………………3分

當時，，函數單調遞增；…………………………………………4分

∴在處取得極小值.       ……………………………………5分

（Ⅱ）由于，則，從而，則

  …………………………………………6分

令，得，.   ………………………………………7分

①  當，即時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；8分

②  當，即時，列表如下：

所以，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；…………10分

當，即時，函數的單調遞增區間為；……………11分

③  當，即時，列表如下：

所以函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；  ……………13分

綜上：當，即時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當，即時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

當，即時，函數的單調遞增區間為；

當，即時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.…………………………14分