Question

【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分別是BC，PC的中點.

(I)證明：AE⊥PD；

(II)設AB＝PA＝2，

①求異面直線PB與AD所成角的正弦值；

②求二面角E－AF－C的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）①②

【解析】

（Ⅰ）通過得到，再證明，平面PAD，然后證明；（Ⅱ）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，①求出，，得到異面直線PB與AD所成角的正弦函數值；②求出平面AEF的一法向量，平面AFC的一法向量，利用空間向量的數量積求解所求二面角的余弦值．

（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，

可得為正三角形.

因為為的中點，所以.

又，因此.

因為平面，平面，

所以.

而平面，平面且，

所以平面，又平面.

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，又分別為的中點，所以，，，，，，，

①,.

∴,

設異面直線與所成角為，∴

②

設平面的一法向量為

則，因此

取

因為，，，

所以 ，

故為平面的一法向量.

又=，

所以 =.

因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為