Question

已知函數y=x³+3x²+x的圖象C上存在一定點P滿足：若過點P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），就恒有y₁+y₂的定值為y₀，則y₀的值為

2

．

Answer 1

分析：先根據題意判斷出MN兩點關于P點對稱，求得函數導函數和二階導函數，根據三次函數的對稱中心的二階導數為0，進而求得點P的坐標，則y₁+y₂的值可求得．

解答：解：∵P為定點，y₁+y₂為定值，
∴MN兩點關于P點對稱
y′=3x²+6x+1，y〃=6x+6
三次函數的對稱中心的二階導數為0
y〃=6x+6=0
∴x=-1
故P點為（-1，1）
∴y₁+y₂=2
故答案為：2

點評：本題主要考查了導函數的幾何意義．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．