Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，試討論的單調性；

（2）若對任意的，方程恒有個不等的實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），在單調遞增，單調遞減；

，在單調遞增，單調遞減；

，在單調遞增，單調遞減，單調遞增；

，在單調遞增.

（2）

【解析】

（1）求出，然后對進行分類討論，判斷出的正負，從而得到的單調區間，得到答案；（2）問題等價于有兩解，令，利用導數求出，求出其單調性和極值，結合圖像得到，過作切線時，斜率最大，通過導數求出過一點的切線，得到最大值，從而得到取值范圍.

解：（1）,

（i），令，得到，

解得，（舍）

所以當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以在單調遞增，單調遞減；

（ii），令，得到

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以在單調遞增，單調遞減；

（iii），

令，得到，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

在單調遞增，單調遞減，單調遞增；

（iiii），在恒成立，所以在單調遞增；

綜上所述，

，在單調遞增，單調遞減；

，在單調遞增，單調遞減；

，在單調遞增，單調遞減，單調遞增；

，在單調遞增.

（2）因為對任意的，方程恒有個不等的實根

所以將問題等價于有兩解

令，有，

；在遞增，遞減；

，；

，；

有圖象知要使的圖像和的圖像有兩個交點，

，過作切線時，斜率最大.

設切點為，有，

，

此時斜率取到最大

.