Question

【題目】已知拋物線：上一點到其焦點的距離為5.

（1）求與的值；

（2）設動直線與拋物線相交于，兩點，問：在軸上是否存在與的取值無關的定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）,； （2）存在點.

【解析】

（1）由拋物線上點的焦半徑為可求得，從而再求得；

（2）假設設存在點滿足條件，令，，條件轉化為，即，整理得：，由直線方程與拋物線方程聯立后消去（注意討論的情形），得的方程，由韋達定理得，代入它是與無關的等式，從而可得．

（1）根據拋物線定義，點到焦點的距離等于它到準線的距離，即

，解得，∴拋物線方程為，

點在拋物線上，得，∴.

（2）拋物線方程為：，

當，直線只與拋物線有一個交點，顯然不成立，

當時，令，，設存在點滿足條件，

即：，

即，

整理得：，

，整理得，

∴，，

∴，

∴，解的，

因此存在點滿足題意.