Question

（1）已知sinα-sinβ=

1

2

，cosα-cosβ=-

1

3

，求cos（α-β）的值；
（2）sin（α+β）=

2

3

，sin（α-β）=-

1

5

，求

tanα

tanβ

的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的兩等式兩邊平方后相加，利用同角三角函數間的基本關系及兩角差的余弦函數公式化簡后，即可求出cos（α-β）的值；
（2）把已知的兩等式利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，相加得到2sinαsinβ的值，相減得到2cosαsinβ的值，再把兩式相除后，利用同角三角函數間的基本關系弦切互化后，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）把已知的兩等式兩邊平方得：
sin²α-2sinαsinβ+sin²β=

1

4

，cos²α-2cosαcosβ+cos²β=

1

9

，
兩等式相加得：2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2-2cos（α-β）=

13

36

，
解得：cos（α-β）=

59

72

；
（2）由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

2

3

，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-

1

5

，
兩式相加得：2sinαcosβ=

7

15

，兩式相減得：2cosαsinβ=

13

15

，
兩式相除得：

tanα

tanβ

=

7

13

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦、余弦函數公式及弦切互化公式化簡求值，是一道基礎題．