Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，且為棱中點，為棱中點.

（1）證明：平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

(1) 取的中點,連接,再證明即可.

(2) 以,,分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,再利用空間直角坐標中向量的方法求解二面角的余弦值即可.

（1）證明：取的中點,連接,

因為為棱中點,所以,

又因為,所以；

因為,所以,

故四邊形為平行四邊形,所以.

因為平面,平面,

所以平面.

（2）解：等腰梯形中,連接,

因為,所以；

中,由余弦定理得,所以,

故可以,,分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,則

,,,,

設為平面的一個法向量,

則

可取,則,

取平面的一個法向量為,

所以,

即銳二面角的余弦值為.