Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若，恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；當時，在R上單調遞增；當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；（2）.

【解析】

（1）求出導函數的零點，然后分，，討論即可.

（2）要使恒成立，只需恒成立，然后分，，，討論即可.

解：（1）因為，

所以.

①當，即時，

令，得或

令，得，

所以的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

②當，即時，恒成立，

所以在R上單調遞增.

③當，即時，

令，得或

令，得，

所以的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

綜上，當時，

的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；

當時，在R上單調遞增；

當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

（2）由（1）可知.

①當時，即時，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

故在上有極大值

.

當時，，

令，得，

故符合題意.

②當，即時，，

所以在上是增函數，

則有最大值，

故符合題意.

③當，即時，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

故在上有極大值

，

當時，，

令，得，

故符合題意.

④當即時，

令，得，

令，得，

則在上是增函數，在上是減函數，

故在上有最大值.

，

故符合題意.

綜上，a的取值范圍是.