Question

【題目】已知極點與坐標原點重合，極軸與軸非負半軸重合，是曲線上任一點滿足，設點的軌跡為.

（1）求曲線的平面直角坐標方程；

（2）將曲線向右平移個單位后得到曲線，設曲線與直線（為參數）相交于、兩點，記點，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設點的極坐標為，可得出點的極坐標為，將點的極坐標代入曲線的極坐標方程，可得出曲線的極坐標方程，再將此極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）根據平移規律得出曲線的直角坐標方程，然后將直線的參數方程化為（為參數），并將該參數方程與曲線的方程聯立，列出韋達定理，利用韋達定理可計算出的值.

（1）設，由可知點，那么.

將代入曲線，得，

則曲線的極坐標方程為化為直角坐標方程，即得為所求；

（2）將曲線向右平移個單位后，得到曲線的方程為.

將直線的參數方程化為（為參數），

代入曲線的方程，整理得到，

記交點、對應的參數分別為、，那么，.

那么，為所求.