Question

對于函數y=f（x），若同時滿足下列條件：
①函數y=f（x）在定義域D內是單調遞增或單調遞減函數；
②存在區間[a，b]⊆3D，使函數f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f（x）是D上的閉函數．
（1）求閉函數f（x）=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數g（x）=

3

4

x+

1

x

，在區間（0，+∞）上是否為閉函數；
（3）若函數φ（x）=k+

x+2

是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）=-x³在R上為單調減函數的特點，由f（a）=b，f（b）=a列方程即可解得a，b
（2）根據求導公式求出g′（x），并求出g（x）的單調區間，判斷其在（0，+∞）不具有單調性，再據閉函數的定義判斷；
（3）函數φ（x）=k+

x+2

在[-2，+∞）單調遞增，根據閉函數的定得f（a）=a，f（b）=b，列出方程組后得：a、b是此方程組的解，再對k進行分類討論，分別轉化為二次函數根的分布問題，列對應的不等式即可得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=-x³是[a，b]上的減函數，
∴

f(a)=-a3=b f(b)=-b3=a.

∴

b

a

=

-a3

-b3

=(

a

b

)3．
∴（

a

b

)4=1，∴

a

b

=±1
又∵-a³=b，∴

a=-1 b=1

．
∴所求區間為[-1，1]．
（2）∵g′（x）=

3

4

-

1

x2

，x∈（0，+∞），
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＞0，得x＞

2 3

3

，
∴x＞

2 3

3

時，g（x）為（

2 3

3

，+∞）上的增函數．
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＜0，得0＜x＜

2 3

3

∴g（x）為（0，

2 3

3

）上的減函數．
∴g（x）不是（0，+∞）上的單調函數．
∴g（x）不是（0，+∞）上的閉函數．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函數．
設φ（x）=k+

x+2

滿足條件②的區間是[a，b]，
∴

?(a)=k+ a+2 =a ?(b)=k+ b+2 =b.

即a，b是方程x=k+

x+2

的兩個不等實根．
也就是方程組

x2-(2k+1)x+(k2-2)=0 x≥-2 x≥k

有兩個不等實根a，b．
①當k≤-2時，方程x²-（2k+1）+（k²-2）=0在[-2，+∞）上有兩個不等實根．
∴

2k+1 2 ＞-2 △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 (-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2．
②當k＞-2時，方程x²-（2k+1）x+（k²-2）=0在[k，+∞）上有兩個不等實根．
∴

2k+1 2 ＞k △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2，與條件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+

x+2

是閉函數，實數k的取值范圍是-

9

4

＜k≤-2．

點評：本題考查了新定義型函數的理解和運用能力，函數單調性的應用，以及問題的等價轉化能力和分類討論思想．