Question

【題目】高三十二班同學設計了一個如圖所示的“蝴蝶形圖案”（陰影區域）來預示在6月的高考中，同學們展翅高飛，其中是過拋物線的焦點的兩條弦，且，點為軸上一點，記，其中為銳角．

（1）求拋物線的方程；

（2）當“蝴蝶形圖案”的面積最小時，求的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的焦點坐標即可得到拋物線的標準方程；（2）由題意結合圖形，把、、、四點的坐標分別用、、、和表示，代入拋物線方程后最終求得、、、，對三角形面積化簡整理，換元后利用配方法求面積的最小值．

試題解析：（1）由題意可得拋物線方程為：．

（2）①由拋物線焦點得，拋物線方程為；

②設，則點，

∴，即．

解得：，

∵，∴．

同理：．

“蝴蝶形圖案”的面積，

令．

則，

∴當，即時“蝴蝶形圖案”的面積最小為．