Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調減區間，單調增區間；（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域與導數，求得該函數的極值點，分析導數的符號變化，進而可得出函數的單調遞減區間和遞增區間；

（2）當時，由恒成立，得出，構造函數，可得，然后對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數的單調性，驗證是否恒成立，由此可求得實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，，令，得.

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（2）若恒成立，即恒成立

時，，即，即，

設，

則，

①當時，，則當時，，函數在上單調遞增，

此時，即成立，所以，符合題意；

②當時，，則當時，，函數在區間上單調遞減，則，不合乎題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.