Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0），傾斜角為45°的直線與橢圓相交于M、N兩點，且線段MN的中點為（﹣1， ）．過橢圓E內一點P（1， ）的兩條直線分別與橢圓交于點A、C和B、D，且滿足 ，其中λ為實數．當直線AP平行于x軸時，對應的λ= ．

（1）求橢圓E的方程；
（2）當λ變化時，kAB是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（m1，n1）、N（m2，n2），則 ，

兩式相減 ，

故a2=3b2

當直線AP平行于x軸時，設|AC|=2d，

∵ ， ，則 ，解得 ，

故點A（或C）的坐標為 ．

代入橢圓方程 ，得

a2=3，b2=1，

所以方程為

（2）解：設A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）

由于 ，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），

…①

同理 可得 …②

由①②得： …③

將點A、B的坐標代入橢圓方程得 ，

兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

于是3（y1+y2）kAB=﹣（x1+x2）…④

同理可得：3（y3+y4）kCD=﹣（x3+x4）

于是3（y3+y4）kAB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴kAB=kCD）

所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）…⑤

由④⑤兩式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]kAB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]

把③代入上式得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），

解得： ，

當λ變化時，kAB為定值， ．

【解析】（1）將M和N點坐標代入橢圓方程，根據斜率公式求得kMN=1，求得a和b的關系，當直線AP平行于x軸時，設|AC|=2d，求得A點坐標，代入橢圓方程，即可求得a和b，求得橢圓方程；（2）設出A、B、C和D點坐標，由向量共線， ，及A和B在橢圓上，利用斜率公式，kAB=kCD ， 求得3（1+λ）kAB=﹣2（1+λ），即可求得kAB為定值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．