Question

【題目】設點在圓上，直線上圓在點處的切線，過點作圓的切線與交于點．

（Ⅰ）證明為定值，并求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與曲線分別交于和，且，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）設與圓相切于點，根據題意得，進而得，利用橢圓的定義，即可求解橢圓的方程．

（2）（ⅰ）當直線的斜率為零或斜率不存在時，四邊形的面積為；

（ⅱ）當直線的斜率存在且不為零時，設：，聯立方程組，得，得到，同理得，進而得到四邊形面積的表達式，利用基本不等式，即可求解四邊形面積的最小值．

詳解：（1）設與圓相切于點，作軸于點，因為，

所以，

而，

又因為，所以，動點的軌跡為橢圓，

，，所以點的軌跡的方程為：．

（2）（ⅰ）當直線的斜率為零或斜率不存在時，四邊形的面積為；

（ⅱ）當直線的斜率存在且不為零時，設：，

，，由得：，

由， ，，

所以，

而：，所以同理得：，

所以，令 （），則，所以，

所以，即時，四邊形面積的最小值．