Question

已知函數f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（I）當x∈[0，

π

6

]時，求函數f（x）的值域；
（II）在△ABC中，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=-

1

4

，且C為銳角，求sinA的值．

Answer 1

分析：（I）先通過兩角和及二倍角公式的變形把函數f（x）一個角的三角函數，進而求解函數的值域，
（II）由cosB及 B為三角形的內角可求sinB，再把f（

C

2

）代入可求 C，利用三角形的內角和 定理可得A=120°-B，利用兩角差的正弦公式可求．

解答：解：（I）∵f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+  

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x
又0≤x≤

π

6

∴0≤2x≤

π

3

     0≤sin2x≤

3

2

則-

1

4

≤f(x)≤

1

2

函數f（x）的值域[-

1

4

，

1

2

]
（II）∵cosB=

1

3

∴sinB=

2 2

3

∵f(

C

2

) =

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

∴sinC=

3

2

且0°＜C＜90° 則C=60°
∴sinA=sin（120°-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

×

1

3

+

1

2

×

2 2

3

=

3 + 2 2

6

點評：本題主要考查了兩角和的余弦公式的應用，要熟練掌握倍角公式的變形cos2α=

1+cos2α

2

，sin2α=

1-cos2α

2

；利用同角平方關系解題時要注意角的范圍；還考查了三角形的內角和的應用．