Question

已知函數f(x)=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

（a≠0且a≠1）．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在(0，

6

)上單調遞減，在(

6

，+∞)上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）（理）記（2）中的函數的圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．
（文） 記（2）中的函數的圖象為曲線C，試問曲線C是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于a≠0且a≠1，f(x)=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

a

（x+

a(a-1)

x

），由雙鉤函數y=x+

m

x

（m＞0）在（-∞，-

m

]，[

m

，+∞）上單調遞增，在[-

m

，0），（0，

m

]單調遞減，可判斷f（x）在當a＜0或當a＞1時的單調區間；當0＜a＜1時，可由y=

3

a

x為R上的增函數，y=

3 (a-1)

x

為（-∞，0），（0，+∞）上的增函數，判斷即可；
（2）由題意及（1）中③可知

a(a-1)

=

6

且a＞1，可解得a=3，從而可求得函數解析； 
（3）（理） 假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，可設l：y=kx（k≠0），設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P'（p'，q'）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p'，q≠q'，則P'也在曲線C上，列式計算即可；
（文）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若定義域關于原點對稱，再證明f（-x）=-f（x）即可．

解答：解：∵f(x)=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

a

（x+

a(a-1)

x

），
∴由雙鉤函數y=x+

m

x

（m＞0）在（-∞，-

m

]，[

m

，+∞）上單調遞增，在[-

m

，0），（0，

m

]單調遞減，可得：
①當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為(-

a(a-1)

，0)及(0，

a(a-1)

)，
②當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

a(a-1)

)及(

a(a-1)

，+∞)；
又當0＜a＜1時，y=

3

a

x為R上的增函數，y=

3 (a-1)

x

為（-∞，0），（0，+∞）上的增函數，
∴③當0＜a＜1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）
（2）由題設及（1）中③知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a=3，（9分）
因此函數解析式為f(x)=

3 x

3

+

2 3

x

（x≠0）．                     （10分）
（3）（理）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，故可設l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，則P'也在曲線C上，列式計算即可；
設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P'（p'，q'）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p'，q≠q'，則P'也在曲線C上，由此得

q+q′

2

=k

p+p′

2

，

q-q′

p-p′

=-

1

k

，
且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p′

3

+

2 3

p′

，（14分）
整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

，
所以存在直線y=

3

x及y=-

3

3

x為曲線C的對稱軸．           （16分）
（文）該函數的定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲線C的對稱中心為（0，0），
因為對任意x∈D，f(-x)=-

3 x

a

+

3 (a-1)

-x

=-[

3 x

a

+

3 (a-1)

x

]=-f(x)，
所以該函數為奇函數，曲線C為中心對稱圖形．                    （10分）

點評：本題考查函數奇偶性、單調性與對稱性，函數解析式的求解，（1）由實數a的不同取值，研究函數的單調區間是難點，可以利用導數研究，著重考查綜合分析、綜合應用的能力，屬于難題．