Question

在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，
求：（1）不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)ξ的分布列；
（2）放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)η的分布列．

Answer 1

分析：（1）由題意知隨機(jī)變量ξ可以取0，1，2，當(dāng)ξ=0時(shí)表示沒有抽到次品，當(dāng)ξ=1時(shí)表示抽到次品數(shù)是一個(gè)，ξ=2時(shí)表示抽到次品數(shù)是兩個(gè)根據(jù)古典概型公式得到概率，寫出分布列．
（2）由題意知放回抽樣時(shí)，每一次抽樣可以作為一次實(shí)驗(yàn)，抽到次品的概率是相同的，且每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，得到η～B（3，0.8）．后面可以根據(jù)二項(xiàng)分布得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知隨機(jī)變量ξ可以取0，1，2，
∵當(dāng)ξ=0時(shí)表示沒有抽到次品，
∴P（ξ=0）=

C 3 8

C 3 10

=

7

15

，
∵當(dāng)ξ=1時(shí)表示抽到次品數(shù)是一個(gè)，
∴P（ξ=1）=

C 1 2 C 2 8

C 3 10

=

7

15

，
∵ξ=2時(shí)表示抽到次品數(shù)是兩個(gè)
∴P（ξ=2）=

C 1 8 C 2 2

C 3 10

=

1

15

，
∴ξ的分布列為

（2）η也可以取0，1，2，3，
∵由題意知放回抽樣時(shí)，每一次抽樣可以作為一次實(shí)驗(yàn)，
抽到次品的概率是相同的，
且每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，
∴η～B（3，0.8）．
∴P（η=k）=C₈^k•0.8^3-k•0.2^k（k=0，1，2，3），
∴η的分布列為

點(diǎn)評(píng)：放回抽樣和不放回抽樣對(duì)隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析．放回抽樣時(shí)，抽到的次品數(shù)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件，即η～B（3，0.8）．