Question

【題目】設、為平面向量，若存在不全為零的實數λ，μ使得λμ0，則稱、線性相關，下面的命題中，、、均為已知平面M上的向量．

①若2，則、線性相關；

②若、為非零向量，且⊥，則、線性相關；

③若、線性相關，、線性相關，則、線性相關；

④向量、線性相關的充要條件是、共線．

上述命題中正確的是 （寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

利用和 線性相關 等價于 和 是共線向量，故①正確，②不正確，④正確．通過舉反例可得③不正確．

解：若、線性相關，假設λ≠0，則，故 和 是共線向量．

反之，若 和 是共線向量，則 ，即λμ0，故 和 線性相關．

故 和 線性相關 等價于 和 是共線向量．

①若2 ，則 2 0，故 和 線性相關，故①正確．

②若 和 為非零向量，⊥，則 和 不是共線向量，不能推出和 線性相關，故②不正確．

③若和 線性相關，則 和 線性相關，不能推出若和 線性相關，例如當 時，

和 可以是任意的兩個向量．故③不正確．

④向量和 線性相關的充要條件是 和 是共線向量，故④正確．

故答案為 ①④．