Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求在點處的切線方程；

（Ⅱ）若，求函數的單調區間；

（Ⅲ）若對任意的，在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用函數和導函數的解析式求得切點和切線斜率，從而得到切線方程；（Ⅱ）通過導數可知單調性由的符號決定；分別在、兩種情況下判斷導函數的正負，從而得到原函數的單調區間；（Ⅲ）通過變量遷移可將問題變為在上恒成立的問題；由與的符號易判斷；構造函數，根據導函數正負可知時滿足題意；而當時，由于存在使得，從而可知時，不等式不成立；由此總結可得結果.

（Ⅰ）當時，

，

函數在點處的切線方程為

（Ⅱ）由題意，

（ⅰ）當時，

令，得；，得

所以在單調遞增，單調遞減

（ⅱ）當時，

令，得；，得或

所以在單調遞增，在，單調遞減

（Ⅲ）令，

當時，，單調遞增，則

則對恒成立等價于

即，對恒成立.

（ⅰ）當時，，，

此時，不合題意，舍去

（ⅱ）當時，令，

則

其中對，

令，則在區間上單調遞增

①當時，

所以對，，則在上單調遞增

故對任意，

即不等式在上恒成立，滿足題意

②當時，由

又且在區間上單調遞增

所以存在唯一的使得，且時，

即，所以在區間上單調遞減

則時，，即，不符合題意

綜上所述，