Question

設函數y=f（x）定義在R上，對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且當x＞0時，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1 且當x＜0時，f（x）＞1
（2）求證：f（x）在R上是減函數．

Answer 1

分析：（1）f（m+n）=f（m）•f（n）恒成立，考慮取m=1，n=0，代入，結合條件x＞0時，有0＜f（x）＜1，可求f（0）；設x＜0時，則-x＞0，根據已知條件可得0＜f（-x）＜1，結合f（0）=1，從而可得f（x）＞1，即得結論．
（2）要證函數在R上單調遞減?x₁＜x₂時有f（x₂）＜f（x₁），結合已知條件構造f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，利用已知可證．

解答：證明：（1）∵對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
則f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0時，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=

1

f(-x)

＞1．
（2）設x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
根據（1）可知 f（x₁-x₂）＞1，f（x₂）＞0．
∵f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂），
∴函數f（x）在R上單調遞減．

點評：本題主要考查抽象函數的函數值的求解，函數的單調性的定義法證明，屬于中檔題，函數的單調性的證明實際是通過配湊來比較函數值的大小，注意構造的技巧在解題中的 應用．