Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

對于定義域為的函數(shù)，若有常數(shù)M，使得對任意的，存在唯一的滿足等式，則稱M為函數(shù)f (x)的“均值”．

（1）判斷0是否為函數(shù)≤≤的“均值”，請說明理由；

（2）若函數(shù)為常數(shù)）存在“均值”，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）已知函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，且其值域為區(qū)間I．試探究函數(shù)的“均值”情況（是否存在、個數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論（不必證明）．

說明：對于（3），將根據(jù)結(jié)論的完整性與一般性程度給予不同的評分．

Answer 1

解：（1）對任意的，有，

當(dāng)且僅當(dāng)時，有，     

故存在唯一，滿足，             ……………………2分

所以0是函數(shù)的“均值”．              ……………………4分

(另法：對任意的，有，令，

則，且，     

若，且，則有，可得，

故存在唯一，滿足，             ……………………2分

所以0是函數(shù)的“均值”．              ……………………4分）

（2）當(dāng)時，存在“均值”，且“均值”為；…………5分

當(dāng)時，由存在均值，可知對任意的，

都有唯一的與之對應(yīng)，從而有單調(diào)，

故有或，解得或或，         ……………………9分

綜上，a的取值范圍是或．　　　　　　　　　   ……………………10分

（另法：分四種情形進行討論）

（3）①當(dāng)I 或時，函數(shù)存在唯一的“均值”．

這時函數(shù)的“均值”為； 　                      …………………12分

②當(dāng)I為時，函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”．

這時任意實數(shù)均為函數(shù)的“均值”；        　　　 　　……………………14分

③當(dāng)I 或或或或或時，

函數(shù)不存在“均值”．     　　　　　　　　　　 　 　……………………16分

[評分說明：若三種情況討論完整且正確，但未用等價形式進行敘述，至多得6分；若三種情況討論不完整，且未用等價形式敘述，至多得5分]

①當(dāng)且僅當(dāng)I形如、其中之一時，函數(shù)存在唯一的“均值”．

這時函數(shù)的“均值”為； 　                    ……………………13分

②當(dāng)且僅當(dāng)I為時，函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”．

這時任意實數(shù)均為函數(shù)的“均值”；        　　　 　　……………………16分

③當(dāng)且僅當(dāng)I形如、、、、、其中之一時，函數(shù)不存在“均值”．     　　　　　　　　 　　　 　　……………………18分

（另法：①當(dāng)且僅當(dāng)I為開區(qū)間或閉區(qū)間時，函數(shù)存在唯一的“均值”．這時函數(shù)的均值為區(qū)間I兩端點的算術(shù)平均數(shù)；                     ……………………13分

②當(dāng)且僅當(dāng)I為時，函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”．這時任意實數(shù)均為函數(shù)的“均值”；                                       ……………………16分

③當(dāng)且僅當(dāng)I為除去開區(qū)間、閉區(qū)間與之外的其它區(qū)間時，函數(shù)不存在“均值”．                                              ……………………18分）

[評分說明：在情形①與②中，等價關(guān)系敘述正確但未正確求出函數(shù)“均值”，各扣1分]