【題目】棱長為1的正方體
內(nèi)部有一圓柱
，此圓柱恰好以直線
為軸.有下列命題：
①圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等；
②正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等；
③在正方體內(nèi)作與圓柱底面平行的截面，則截面的面積
；
④圓柱側(cè)面積的最大值為
.
其中正確的命題是______.
【答案】①②④
【解析】
根據(jù)正方體的特性分析可知①②正確，作出一個與圓柱底面平行的截面，舉出反例得到③錯誤，利用幾何法找出圓柱的底面半徑，列式計算圓柱側(cè)面積，結(jié)合均值不等式計算得到④正確，得到答案.
如圖所示：易知圓柱
的母線與
平行，由正方體的對稱性可知與其每條側(cè)棱間的夾角都相等，①正確；
設(shè)
分別為對應(yīng)棱的中點，易知共面，
易證
，
，則
平面
，
平面，故
，同理可得
，故
平面
，
又圓柱的底面與垂直，
故平面與圓柱的底面平行，
根據(jù)正方體的特點可知，平面與正方體所有側(cè)面的夾角相同，
故正方體
所有的面與圓柱的底面所成的角都相等，②正確；
此時截面的面積為
，③錯誤；
設(shè)圓柱底面半徑為
，則圓柱的底面必與過
點的三個面相切，
且切點分別在線段
上，設(shè)在
上的切點為
，
為圓柱的一條高，
根據(jù)對稱性知：
，則圓柱的高為
，
，
當
，即
時等號成立，④正確.
故答案為：①②④.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知拋物線
，過點
的直線
交拋物線于
，
，
，
兩點.當
垂直于
軸時，
的面積為
.
0
（1）求拋物線的方程：
（2）設(shè)線段的垂直平分線交軸于點
.
①證明：
為定值：
②若
，求直線的斜率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的普通方程為
，以原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（I）求的參數(shù)方程與的直角坐標方程；
（II）射線
與交于異于極點的點
,與的交點為
,求
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知點A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動點，P為平面ABC外一點，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2
，PC
，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為______．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為
（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
.
（1）若a=1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l的距離的最大值為
，求a.
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【題目】
是指大氣中直徑小于或等于
微米的顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物.我國標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米
微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標，某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2019年上半年每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如下莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）.
（1）在這15天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記
表示抽到監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；
（3）以這15天的日均值來估計該市下一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級.
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【題目】已知數(shù)列
的前
項和為
，且
．
（1）若為等差數(shù)列，且
①求該等差數(shù)列的公差
；
②設(shè)數(shù)列
滿足
，則當為何值時，
最大？請說明理由；
（2）若還同時滿足：
①為等比數(shù)列;
②
；
③對任意的正整數(shù)
存在自然數(shù)
，使得
、
、
依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列的通項公式．
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【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間
，9:40~10:00記作
，10:00~10:20記作
，10:20~10:40記作
.例如：10點04分，記作時刻64.
（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；
（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布
，其中
可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，
可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.
參考數(shù)據(jù)：若
，則
，
，
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標
中，圓
，圓
。
(Ⅰ)在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓
的極坐標方程，并求出圓
的交點坐標(用極坐標表示)；
(Ⅱ)求圓
的公共弦的參數(shù)方程。
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