Question

【題目】已知函數是定義在上的奇函數，且， .

（1）求函數的解析式；

（2）判斷并證明函數在上的單調性；

（3）令，若對任意的都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：(1)由題意易得： ，從而解得a，b的值，得到函數的表達式；（2）利用函數的單調性定義判斷函數在上的單調性；（3）對任意的都有恒成立，即.
試題解析：

（1）

，即

又函數是定義在上的奇函數

， ，即

解得：

(2) 函數在上的單調遞減，在上單調遞增

證明如下：取且

且

即

，即

函數在上的單調遞減

同理可證得函數在上單調遞增 .

(3)

令

由（2）可知函數在上單調遞減，在上單調遞增

函數的對稱軸方程為

函數在上單調遞增

當時， ；當時，

即，

又對任意的都有恒成立

即

解得.