Question

已知a，b為實數，若函數f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx在區(qū)間（a，b）上均為減函數，則b-a的最大值為

1

3

．

Answer 1

分析：“函數f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx在區(qū)間（a，b）上為減函數”等價于“f′（x）≤0，g′（x）≤0在（a，b）上恒成立”，從而可求出a，b的取值范圍，即可求出b-a的最大值．

解答：解：∵函數f（x）=x³+ax在區(qū)間（a，b）上為減函數，
∴f′（x）=3x²+a≤0在（a，b）上恒成立，
∴

f′(a)=3a2+a≤0 f′(b)=3b2+a≤0

，解得

- 1 3 ≤a≤0 3b2≤-a

，①
∵函數g（x）=x²+bx在區(qū)間（a，b）上為減函數，
∴g′（x）=2x+b≤0在（a，b）上恒成立，
即g′（b）=2b+b=3b≤0，②
由①②可得-

- a 3

≤b≤0，0≤-a≤

1

3

，
又∵a＜b，
∴0＜a-b≤

1

3

，即b-a的最大值為

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查了函數單調性的性質，以及利用導數研究函數的單調性和恒成立問題，同時考查了分析問題的能力．對于常見的基本初等函數的單調性要熟練掌握．屬于中檔題．